<code id="gkkii"><object id="gkkii"></object></code>
<bdo id="gkkii"><noscript id="gkkii"></noscript></bdo>
  • <menu id="gkkii"><center id="gkkii"></center></menu>
  • 優勝從選擇開始,我們是您省心的選擇!—— 文閱期刊網
    幫助中心
    期刊發表
    您的位置: 主頁 > 論文中心 > 理工論文 > 正文

    多時滯混合型微分方程的數值穩定性

    作者:文閱期刊網 來源:文閱編輯中心 日期:2022-06-17 08:48人氣:
    摘    要:研究了一類具有多時滯混合型分段連續常微分方程的數值穩定性。首先,得到了解析解漸近穩定的條件;其次,方程采用Euler-Maclaurin方法,并證明了該算法的收斂性;第三,得到了數值穩定區域包含解析穩定區域的充要條件;最后,通過一些數值實驗對結果進行了驗證。
     
    關鍵詞: Euler-Maclaurin方法; 解析解;數值解,漸近穩定;收斂;
     
    Numerical Stability of Differential Equations of Mixed Type with Multi-Delays
    YIN Hefan
    School of Mathematics and Statistics, Guangdong University of Technology
     
    Abstract:
    The paper studies the numerical stability of a differential equation with piecewise constant arguments of mixed type with multi-delays. Firstly, the asymptotic stability condition of the analytic solution is obtained. Secondly, the Euler-MacLaurin method is used for the equation, and the convergence of the algorithm is proved. Thirdly, the sufficient and necessary conditions for the numerically stable region to contain the analytically stable region are obtained. Finally, the results are verified by some numerical experiments.
     
    Keyword:
    Euler-Maclaurin; analytic solution; numerical solution; asymptotic stability; convergence;
     
    近年來,分段連續型常微分方程(簡稱EP⁃CA),作為一類特殊的時滯微分方程,是學者們研究的熱點問題之一。EPCA理論在文獻[1,2]中被提出,后來,這種形式的微分方程被許多作者進行了研究,例如文獻[3,4,5,6]。而學者們對于EPCA的研究熱情來自于它兼容了微分方程和差分方程的特性,這也使得EPCA在種群生物學[7,8]、神經網絡[9,10]、捕食者-食餌模型[11]、流行病學[12,13,14]等方面發揮著重要的作用。
     
    由于這類方程結構上的復雜性,想要準確的求解方程是很困難的。因此,有必要研究EPCA的數值方法。目前,關于EPCA數值解的動力學性質研究越來越多,例如振動性[15,16]、穩定性[17,18]和收斂性[19,20]。本文討論了多時滯混合型EPCA數值方法的收斂性和穩定性。
     
    考慮下列分段連續常微分方程
     
     
    其中a,ai(i=0,1,2),x0和x1是實常數,[·]表示取整函數。
     
    這類方程的一般形式是
     
     
    其中參數α(t),β(t)和γ(t)是分段連續函數。由于方程(1)中的[t]是滯后型,[t+1]和[t+2]是向前型,所以我們稱方程(1)為帶有三個延遲項[t],[t+1]和[t+2]的混合型EPCA。
     
    本文的結構如下:在第一部分,我們考慮方程(1)的穩定性分析;在第二部分,討論了Eu⁃ler⁃Maclaurin方法的收斂性和穩定性;第三部分給出了數值模擬來支持我們的分析結果;第四部分來總結本文所得到的結果。
     
    1穩定性分析
    定義1[21]方程(1)在[0,∞)上的解x(t)滿足下列條件:
     
    (1)x(t)在[0,∞)上連續;
     
    (2)導數x′(t)在[t]∈[0,∞)的點上存在單側導數,在t∈[0,∞)的其他點上存在導數;
     
    (3)x(t)在每個區間[n,n+1)⊂[0,∞)上滿足方程(1)。
     
    引理1[22]方程(1)在[0,∞)上有唯一解
     
     
    其中{t}是t的小數部分,并且
     
     
    λ1和λ2是方程
     
     
    的根。
     
    定義2如果方程(1)的解x(t)滿足
     
     
    那么方程(1)的零解稱為漸近穩定的。
     
    引理2[23]方程λ2-A1λ-A2=0的根的模小于1的充要條件是A2<1和A1<1-A2。
     
    引理3[21]方程(1)的解是漸近穩定的等價于(6)的根的模滿足不等式∣λ1∣<1,∣λ2∣<1。
     
    定理1方程(1)的零解是漸近穩定的充要條件是
     
     
    證明由引理3可得,方程(1)的解是漸近穩定的等價于特征方程
     
     
    的根滿足∣λi∣<1,i=1,2。
     
    由引理2有
     
     
    整理得
     
     
    故命題得證。
     
    定義3使得方程(1)漸近穩定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩定區域,記為H。
     
    因此,我們得到
     
     
     
    我們把H*分成如下所示的兩個區域:
     
     
    2數值穩定性
    2.1 Euler⁃Maclaurin方法和收斂性
    首先引入Bernoulli數與Bernoulli多項式,有
     
     
    其中Bj和Bj(x),j=0,1,2…分別為Bernoulli數和j次Bernoulli多項式。
     
    引理4[24]Bj和Bj(x)有下列特征:
     
     
    引理5[25]假設f(x)在區間[ti,ti+1]上有2n+3階連續導數,則有
     
     
    事實上,對于每一個區間[k,k+1),方程(1)是一個常微分方程。導數x(j)(t)在每個區間[k,k+1)上存在,對于j=0,1,2…,假設
     
     
    則有
     
     
     
    將(9)應用到(8),得到如下迭代公式:
     
     
    由i=km+l,l=0,1,…,m-1,式(10)可以表示為
     
     
    其中,函數是Euler-Maclaurin方法的穩定函數。
     
    定理2對任意給定的n∈N,Euler⁃Ma⁃claurin方法是2n+2階的。
     
    證明令km≤i<(k+1)m-1,由引理5及f(t)=x′(t)有
     
     
     
    令i=(k+1)m-1,則對任意的0<ε<h,有
     
     
    在方程(14)中,令ε→0+,可得對于i=(k+1)m-1,有(12)成立。假設
     
     
    由式我們有
     
     
    所以定理成立。
     
    2.2穩定性分析
    定義4對于方程(1),式子(10)在(a,0,a1,a2)處成為漸近穩定的充要條件是存在M,對于所有的
     
    定義5對于方程(1),使得式(10)漸近穩定的所有點(a,a0,a1,a2)的集合被稱為漸近穩定區域,用S表示。
     
    推論1當n→∞時,xn→0的充要條件是當k→∞時,xkm→0。
     
    定理3方程(1)的數值解是漸近穩定的充要條件是
     
    證明根據推論1,我們可以得到方程(1)的所有數值解是漸近穩定的充要條件是當k→∞時,xkm→0。由(11)、(12)可知,當k→∞時,xkm→0的充要條件是特征方程
     
     
     
    的根位于復平面的開單位圓盤內,即∣λi∣<1,i=1,2。
     
    由引理2有
     
     
    整理得
     
     
    故命題得證。
     
    由定義5和定理3,我們得到
     
     
    把S*分成下面兩個區域:
     
     
    接下來我們只需要找到滿足Hi⊆Si,i=1,2的條件即可。
     
    引理6[24]如果∣z∣≤1,那么對于z>0,有φ(z)≥1/2;對于z≤0,有φ(z)≥1。
     
    引理7[24]如果∣z∣≤1,那么
     
    (1),n為偶數;
     
    (2),n為奇數。
     
    定理4 H1⊆S1的充要條件是n為偶數。
     
    證明令(a,a0,a1,a2)∈H1,那么a+a0+a1+a2<0和H1⊆S1成立當且僅當
     
     
    等價于
     
     
    如果a>0,因為函數都是遞減的,所以有
     
     
     
     
    由引理7可知,n為偶數,同理可證a<0的情況,故命題得證。
     
    定理5 H2⊆S2的充要條件是n為奇數。
     
    證明:類似于定理4的證明。
     
    3數值實驗
    考慮下列方程:
     
     
    取t=10,方程(19)的解析解為x(10)≈-0.130 2。表1列舉了Euler-Maclaurin方法在n=2時的絕對誤差(AE)和相對誤差(RE),以及m=50和m=100情況下誤差的比率。從表1可以看出,Euler-Maclaurin方法的收斂階為6,也就是說,數值方法保持了收斂階。
     
    進一步,由(19)易知,a=-5,a0=-0.5,a1=3,a2=-2,故(-5,-0.5,3,-2)∈H1,同時有
     
    即(7)式成立,所以方程(19)的解析解是漸近穩定的。
     
    另外,取m=50,n=2,有(-5,-05,3,-2)∈S1并且
     
    即(15)式成立,所以方程(19)的數值解是漸近穩定的。
     
    在圖1中,我們做出了方程(19)的解析解和數值解的圖像,從圖1不難看出,數值方法保持了方程(19)的穩定性。對于方程(20),可以同理驗證(見圖2)。
     
    4結語
    本文考慮了多時滯混合型EPCA數值解的收斂性和穩定性。結果表明,Euler-Maclaurin方法的收斂階是2n+2。通過運用差分方程的特征理論,給出了數值穩定區域包含解析穩定區域的條件。在今后的工作中,我們將考慮非線性問題和分數階問題。
     
    參考文獻
    [1] SHAH S M, WIENER J. Advanced differential equations with piecewise constant argument deviations[J]. International Journal of Mathematics&amp;Mathematical Sciences, 1983, 6(4):671-703.
    [2] COOKE K L, WIENER J. Retarded differential equations with piecewise constant delays[J]. Journal of Mathematical Analysis and Application, 1984, 99(1):265-297.
    [3] CHIU K S. Green’s function for impulsive periodic solutions in alternately advanced and delayed differential systems and applications[J].Communications, 2021, 70(1):15-37.
    [4] LI X Y, LI H X, WU B Y. Piecewise reproducing kernel method for linear impulsive delay differential equations with piecewise constant arguments[J]. Applied Mathematics and Computation, 2019, 349:304-313.
    [5] DING H S, WANG H, N’GUEREKATA G M. Multiple periodic solutions for delay differential equations with a general piecewise constant argument[J]. Journal of Nonlinear Sciences and Applications, 2017, 10(4):1960-1970.
    [6] BEREKETOGLU H, LAFCI M, OZTEPE G S. On the oscillation of a third order nonlinear differential equation with piecewise constant aArguments[J]. Mediterranean Journal of Mathematics, 2017, 14(3):123.
    [7] KARAKOC F. Asymptotic behavior of a population model with picecwise constant argument[J]. Applied Mathematics Letters, 2017, 70:7-13.
    [8] YOUSEF F B, YOUSEF A, ABDELJAWAD T, et al. Mathematical modeling of breast cancer in a mixed immune-chemotherapy treatment considering the effect of ketogenic diet[J]. European PhysicalJournal Plus, 2020, 135(12):952.
    [9] PINTO M, SEPULVEDA D, TORRES R. Exponential periodic attractor of impulsive hopfield-type neural network system with piecewise constant argument[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2018, 34:1-28.
    [10] AKHMET M, CINCIN D A, TLEUBERGENOVA M, et al. Unpredictable oscillations for hopfield-type neural networks with delayed and advanced arguments[J]. Mathematics, 2021,9(5):571.
    [11] KARTAL S, GURCAN F. Global behavior of a predator-prey like model with piecewise constant arguments[J]. Journal of Biological Dynamics, 2015,9(1):159-171.
    [12] BOZKURT F, PEKER F. Mathematical modeling of HIV epidemic and stability analysis[J]. Advances in Difference Equations, 2014, 2014(1):1-17.
    [13] BOZKURT F, YOUSEF A, ABDELJAWAD T. Analysis of the outbreak of the novel coronavirus COVID-19 dynamic model with control mechanisms[J]. Results in Physics, 2020, 19:103586.
    [14] 植運超,陳既謀,楊林森.基于改進SEIR模型的COVID-19疫情狀況評估及發展趨勢預測[J].東莞理工學院學報,2020, 27(3):11-16.
    [15] GAO J F. Numerical Oscillation and non-oscillation for differential equation with piecewise continuous arguments of mixed type[J]. Applied Mathematics and Computation, 2017, 299:16-27.
    [16] ZHANG G L. Oscillation of Runge-Kutta methods for advanced impulsive differential equations with piecewise constant arguments[J]. Advances in Difference Equations, 2017, 2017(1):68-70.
    [17] LIU X, LIU M Z. Asymptotic stability of Runge-Kutta methods for nonlinear differential equations with piecewise continuous arguments[J].Journal of Computational and Applied Mathematics, 2015, 280:265-274.
    [18] ZHANG C J, LI C, JIANG J Y. Extended block boundary value methods for neutral equations with piecewise constant argument[J]. Applied Numerical Mathematics, 2020, 150:182-193.
    [19] LU Y L, SONG M H, LIU M Z. Convergence and stability of the split-step theta method for stochastic differential equations with piecewise continuous arguments[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2017, 317:55-71.
    [20] LI C, ZHANG C J. Block boundary value methods applied to functional differential equations with piecewise continuous arguments[J]. Applied Numerical Mathematics, 2017, 115:214-224.
    [21] WIENER J. Generalized solutions of functional differential equations[M]. Singapore:World Scientific, 1993.
    [22] WANG Q. The Numerical Asymptotically stability of a linear differential equation with piecewise constant arguments of mixed type[J]. Acta Applicandae Mathematicae, 2016, 146:145-161.
    [23] MILLER J J H. On the lLocation of zeros of certion classes of polynomial with applications to numerical analysis[J]. Journal of the Institute of Mathematics Applications, 1971, 8(3):397-406.
    [24] LV W J, YANG Z W, LIU M Z. Stability of the Euler-Maclaurin methods for neutral differential equations with piecewise continuous arguments[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007, 186(2):1480-1487.
    [25] STOER J, BULIRSH R. Introduction to numerical analysis[M]. New York:Springer, 1993:156-160.
     

    在線客服:

    文閱期刊網 版權所有   

    【免責聲明】:所提供的信息資源如有侵權、違規,請及時告知。

    專業發表機構
    辽宁熟妇高潮45分钟,午夜乱码在线观看不卡,欧美成人午夜福利小视频
    <code id="gkkii"><object id="gkkii"></object></code>
    <bdo id="gkkii"><noscript id="gkkii"></noscript></bdo>
  • <menu id="gkkii"><center id="gkkii"></center></menu>